
\chapter{导论}
卡尔多事实:
\begin{itemize}
	\item 人均产出持续增长，并且增长不会下降；
	\item 人均资本持续增长；
	\item 资本回报率几乎恒定；
	\item 资本-产出比接近恒定；
	\item 要素收入份额几乎恒定；
	\item 人均产出增长率国家间差距甚大。
\end{itemize}

建模的一些体会：
\begin{itemize}
	\item 一般通过厂商最大化问题(一般是静态规划)通过选择要素来最大化利润，这样一般可以得到工资($ w $)和利率($ r $)的决定方程，也称为要素的需求函数；
	\item 通过消费者问题(一般是动态规划)获得关于消费的一阶微分方程。因为该规划带有约束(该约束通常包含$ w $和$ r $)，因此，在获得各个一阶条件后，往往会通过变形消去拉格朗日乘子，并代入由厂商问题确定的$ w $和$ r $。
	\item 对于一些包含多个产品(或消费)的生产者(消费者)问题，有几个通常的结果。比如此时的拉格朗日乘子即为产品间的边际替代率(可以参见CES章),
\end{itemize}

\chapter{索罗斯旺经济增长模型}
什么样的生产函数决定了什么样的经济增长过程。
\section{新古典主义生产函数的特征}
一个生产函数可以书写如下，
\[ Y = F(K,L,T) \]
对于新古典注意的生产函数，具有如下特征：
\begin{itemize}
	\item 规模报酬不变。$ F(\lambda K,\lambda L,T)=\lambda F(K,L,T) $，也即$ K,L $的一次齐次。注意规模只考虑资本和人口，没有技术。
	\item 私人投入收益为正且递减。$ \frac{\partial F}{\partial K}>0, \frac{\partial^2 F}{\partial K^2}<0$，对$ L $也是类似的。
	\item 稻田条件。即要素趋于0，其边际产品无穷大；要素趋于无穷大，其边际产品趋于0。$ \lim _{K\rightarrow 0}\left(\frac{\partial F}{\partial K}\right) =\lim _{L\rightarrow 0}\left(\frac{\partial F}{\partial L}\right)=\infty,\lim _{K\rightarrow \infty}\left(\frac{\partial F}{\partial K}\right) =\lim _{L\rightarrow \infty}\left(\frac{\partial F}{\partial L}\right)=0$，
\end{itemize}

很多时候，我们更喜欢人均变量。
\begin{align*}
& Y = F(K,L,T)=LF(K/L,1,T)=L\cdot f(k)\\
 \Longrightarrow &y = f(k)	
\end{align*}
其中，$ k\equiv K/L,y = \equiv Y/L, f(k)\equiv F(k,1,T) $，$ T $通常被假设为常数。

\section{柯布道格拉斯函数的例子}
\[ Y = AK^\alpha L^{1-\alpha} \]
验证该生产函数的前述三个特征。

特别注意该函数的要素收入份额是恒定的。
\section{基本方程}\label{sl_basic}
主要是一个资本存量的动态，即资本存量的变化等于投资减去折旧，而投资又等于储蓄，
\[ \dot{K(t)}=I(t)-\delta K(t)=s\cdot F- \delta K(t)\]

总量没啥意义，因为一个国家的富有我们总是考察其人均GDP，所以将上式两边除以$ L $以人均化，有，
\[ \dot{K}/L=s\cdot f(k)-\delta k \]

又
\[ \dot{k}\equiv \frac{K/L}{dt}=\dot{K}/L-nk \]

因此，有，
\[ \dot{k}=s\cdot f(k)-(n+\delta )\cdot k \]
\section{均衡角度的基本方程}
从均衡的角度可以得到同样的索洛斯旺模型的结论。
\subsection{居民}
没有最优化，只有一个逻辑:即居民收入来自资产和劳动，收入一部分用来消费，一部分用来储蓄，那么其总资产的变化为，
\[ \dot{A}=(rA+wL)-C \]

其中，$r$为利率，$ w $为工资，$ A $为总资产。类似于上一节把$ K $变为$ k $的程序，可以得到，
\begin{equation}\label{eq:a}
\dot{a}=(ra+w)-c-na 
\end{equation}
\subsection{企业}

如果产品价格为1，那么企业最大化利润规划如下，
\[ Max \quad \pi= F-(r+\delta)K-wL=L[f(k)-(r+\delta)k-w] \]

因为竞争性企业无法影响价格，所以在$ L $给定时，关于$ k $的一阶条件为，
\begin{equation}\label{eq:r}
 f'(k)=r+\delta
\end{equation}

而且这种企业，利润必然为0，这就有（实际上也是对$ L $的一阶条件），
\begin{equation}\label{eq:w}
f(k)-kf'(k)=w 
\end{equation}
 
\subsection{均衡}
该经济的居民供给的是资本，企业使用的也是资本，其均衡就要求$ a=k $,那么，通过\eqref{eq:r}式和\eqref{eq:w}式，把\eqref{eq:a}式中的
$ r,w $消掉，就有，
\[ \dot{k}=f(k)-c-(n+\delta)k \]

又$ c = 1-sf(k) $,则又可以得到索罗斯旺的基本方程
\begin{equation}\label{sl_k}
 \dot{k}=s\cdot f(k)-(n+\delta )\cdot k	
\end{equation}



\section{稳态}
\textbf{一般得到关键微分方程以后，我们要进行两个分析：稳态和转移动态。}所谓稳态，指的是各变量以不变速率增长（包括0），如$ \dot{k}=0 $。

\begin{figure}[H]
\includegraphics[scale=0.6]{figure/p1-1.png}
\caption{$ y = A\cdot k^\alpha $示意图}
\end{figure}

稳态下，
\begin{itemize}
	\item $ k $是不变的。然后可以推出$ y= f(k) $是不变的，$ c = (1-s)f(k) $也是不变的；
	\item 因为$\frac{\dot{k}}{k} = \frac{\dot{K}}{K} - \frac{\dot{L}}{L}=0 $，因此，$ K,Y,C $以人口增长率$ n $的速率增长;
	\item 因为$ k,y,c $的人均增长率为0，所以索罗斯旺模型并未对长期人均增长的决定因素做出任何解释。或者说长期增长率与储蓄率、技术水平均无关。
\end{itemize}
\section{资本积累的黄金法则}
储蓄意味着资本的积累。我们需要一个消费最大时的储蓄率。在稳态下($ \dot{k}=0 $)，根据\eqref{sl_k}式，有
\begin{align*}
&	 k=k(s) \\
\text{又}\because \hspace{2em} & c = (1-s)\cdot f(k)\\
	 \Longrightarrow & c = (1-s)\cdot \frac{(n+\delta)\cdot k(s)}{s}
\end{align*}

这个最大消费处的储蓄比例成为资本积累的黄金法则。
\begin{figure}[H]
	\includegraphics[scale=0.6]{figure/p1-2.png}
	\caption{黄金分割率示意图}
\end{figure}

\section{转移动态}
转移动态，描述人均收入如何趋于自身稳态。可从一个新的变量定义开始，$ \gamma_k\equiv \dot{k}/k $,其中$ \gamma_z $今后表示变量$ z $的增长速度\footnote{今后要注意，$ \dot{K}/K=\dot{k}/k+n $。}。

我们前面描述过对于微分方程如何获得其解的图形法。将微分方程写成两个函数的差，
\[ \frac{\dot{k}}{k}=\frac{s\cdot f(k)}{k}-(n+\delta) \]
\begin{figure}[H]
	\includegraphics[scale=0.6]{figure/p1-4.png}
	\caption{任何人均资本存量下的系统变化}
\end{figure}

因为，$ \frac{\dot{y}}{y} = \frac{f'(k)\dot{k}}{f(k)}=\frac{f'(k)k}{f(k)}\cdot \frac{\dot{k}}{k}, c= (1-s)y $，所以产出和消费的动态是类似的。

\textbf{考虑另一个有趣的问题，转移动态下，要素价格$ w,r $如何变化。}

\section{政策实验}
假定在某个稳态，储蓄率永久地增加了，经济体各变量会如何变化？
\begin{figure}[H]
	\includegraphics[scale=0.6]{figure/p1-6.png}
	\caption{储蓄率增加后的转移动态}
\end{figure}


储蓄率增加会导致系统有一个新的稳态，从旧稳态出发，会有一个正的$ \dot{k} $，使得$ k $逐渐靠近$ k_2^* $，然后增长率再次为0。因此，通过提高储蓄率，可以使经济体永远保持增长，但储蓄率最多是1，永远增长是不能实现的。

但技术水平永久性增长会有一个类似于储蓄率的暂时效应，同样使得$ sf(k)/k $上移，而技术增长是没有上限的。\textbf{因此长期的人均收入和消费的增长，必然源自技术进步}。

\section{收敛}
\begin{itemize}
	\item 绝对收敛。不以参数为条件，只要人均较穷就一定比富裕经济体增长更快，从而收敛。
	\item 条件收敛。以参数为条件，只趋于自身稳态，即离自身稳态远，才增长更快。
	\item 收敛速度，$ \beta \equiv -\frac{\partial (\dot{\hat k}/\hat k)}{\partial \ln \hat k}$，分母的对数体现的是百分比的变化。该式子的含义在于随着资本存量的增加，增长率下降得有多快。\footnote{半衰期指，对于一个总收入的收敛速度也为$ \beta $的经济而言，可以得到$ \dot{\hat y}/\hat y=-\beta \ln(\hat /\hat y) $ 微分方程的解，$\cdots$}
\end{itemize}

\section{技术进步}
前面一直假设技术进步是常数，现在引入外生的技术进步。
\begin{itemize}
	\item 希克斯中性生产函数，$ Y=T\cdot F(K,L) $
	\item Harrod劳动增进型技术进步生产函数，$ Y= F(K,L\cdot T) $
	\item 索洛资本增进型技术进步生产函数，$ Y= F(K\cdot T,L) $
\end{itemize}
\textbf{只有劳动增进型技术进步才存在稳态}，见附录。如果采取柯布道格拉斯生产函数，何种增进型皆可。现在定义每单位有效劳动的数量，为
\[ \hat{y} = \frac{Y}{L\cdot T} \]
类似于\ref{sl_basic}节的推导，可以得到基本方程为，
\[ \dot{\hat{k}}=s\cdot f(\hat{k})/\hat{k}-(x+n+\delta) \]
其中，$ x = \dot{T}/T $是技术增长率。因此，尽管稳态下$ \hat{k} $的增长率为0，但$ \dot{k}/k = \dot{\hat k}/\hat k + x = x $却不是0而是技术进步增长率$ \dot{T}/T= x $。

\section{内生增长模型}
\textbf{前面的模型中，经济的稳态增长率始终是外生的，要么是$ n $要么是$ x $。我们需要用模型的参数来决定经济增长率，而不是外生的$ n $或$ x $。}

这可以通过对生产函数的简单改变而得到，AK函数如下，
\[ Y = AK \]

从而，得到，
\[ \frac{\dot{k}}{k} = sA -(n+\delta) \]

\begin{figure}[H]
	\includegraphics[scale=0.6]{figure/p1-12.png}
	\caption{AK模型的人均资本增长率}
\end{figure}

此时人均资本增长率是一个由$ s,A,n,\delta $决定的常数,且经济体永远处于稳态增长中。但其缺陷在于，假设经济体只在初始人均资本存量存在差异的话，那么每个经济体以相同的速率增长，则其不存在绝对收敛或条件收敛。这是因为生产函数不在收益递减特征。(这种假设是否合理？)

如何既保持收益不变，又能收敛？\textbf{关键在于修改生产函数}，如果把生产函数改成，
\[ Y = AK + BK^\alpha L^{1-\alpha} \]
则其人均形式为，
\[ y = f(k) = Ak+Bk^\alpha \]

再次依据$ \dot{k}/k=s\cdot f(k)/k-(n+\delta) $，有，
\[ \lim_{k\rightarrow \infty}\frac{\dot{k}}{k}=\lim_{k\rightarrow \infty} [s\cdot (A+Bk^{\alpha-1})-(n+\delta)]=s\cdot A-(n+\delta)\]
此时，离稳态越远，收敛越快，同时，可以一直保持增长。在图形上，体现为，
\begin{figure}[H]
	\includegraphics[scale=0.6]{figure/p1-13.png}
	\caption{既要素收益不变又有收敛的生产函数}
\end{figure}


还可以修改成CES形式的生产函数，如
\[ Y=　A \cdot \{a\cdot (b\cdot K)^\psi + (1-a)\cdot [(1-b)\cdot L]^\psi\}^\frac{1}{\psi} \]

所谓替代弹性，指的是产品的相对数量对产品的相对价格的弹性。或者说是等产量线中的边际替代率($ dL/dK $)对产品比例($ L/K $)的弹性。这个弹性为$ 1/(1-\psi) $，是不变的，见第\ref{CES}章。

该生产函数的人均形式可以写为，
\[ y=　A \cdot [a\cdot (b\cdot k)^\psi + (1-a)\cdot (1-b)^\psi]^\frac{1}{\psi} \]
此时，
\[ \frac{f(k)}{k}= A \cdot [a\cdot b^\psi + (1-a)\cdot (1-b)^\psi k^{-\psi}]^\frac{1}{\psi}\]

分两种情况讨论增长率。第一，较高的替代弹性，即$ 0<\psi<1 $。


\section{几个结论}
人均资本增长率为，
\[ \frac{\dot{k}}{k}=s\frac{f(k)}{k}-(n+\delta) \]

人均产出增长率为，
\begin{align*}
\because y &= f(k)\\
\therefore \dot{y}&=f'(k)\dot{k}\\
\Rightarrow \frac{\dot{y}}{y} &=\frac{f'(k)\cdot \dot{k}}{f(k)} = \left[\frac{kf'(k)}{f(k)}\right]\cdot \frac{\dot{k}}{k}
\end{align*}


\subsection{里昂锡夫生产函数}
\subsection{贫困陷阱}
贫困意味着低水平的稳态。陷阱意味着即便打破这个稳态，也有回到低水平稳态的趋势。
建模思想很有趣。假设存在两个生产函数，可以都是柯布-道格拉斯生产函数：
\begin{align*}
Y_A= & AK^\alpha L^{1-\alpha}\\
Y_B= & BK^\alpha L^{1-\alpha}
\end{align*}
其中，$ B>A $意味着更高的技术水平。但要利用这种高技术，必须支付一个成本，假定该成本与劳动力成比例，记为$ bL $。那么，从人均的角度看，两个生产函数就可以写为，
\begin{align*}
y_A= & Ak^\alpha\\
y_B= & Bk^\alpha -b
\end{align*}

\chapter{拉姆齐模型}

上章的储蓄率是外生的，消费者无法通过选择储蓄和消费的优化行为来内生储蓄，本章将其内生化。

\section{居户}
\begin{align*}
Max\quad U=\int_0^{\infty}u[c(t)]\cdot e^{nt}\cdot e^{-\rho t}dt\\
s.t. \quad \dot{a}=(ra+w)-c-na 
\end{align*}

注意$ e^{nt} $代表了$ t $时刻家庭的规模，因为我们假设了时点0时的人口为1。且效用函数满足$ u'(c)>0,u''(c)<0 $。该假设使得消费者有动力平滑消费，而不是时高时低。$ u(c) $也满足稻田条件。该规划的汉密尔顿函数为
\[ J=u[c(t)]\cdot e^{nt}\cdot e^{-\rho t}+v(t)[ra+w-c-na] \]

一阶条件为\footnote{汉密尔顿函数的一阶条件有两类，在无约束条件情况下，第一，是$ \dot{v} $等于负的汉密尔顿函数对存量的偏导，即$\dot{v}=-\frac{\partial J}{\partial a}$；第二，是汉密尔顿函数对控制变量偏导为0，即$\frac{\partial J}{\partial c}=0$。最后再加上控制条件，就决定了$ a,v,c $的变化。}，
\begin{align}
 & \frac{\partial J}{\partial c}=0 \Longrightarrow v=u'(c)e^{-(\rho -n)t}\\\label{ramsey_v}
& \dot{v}=-\frac{\partial J}{\partial a} \Longrightarrow \dot{v}=-(r-n)v
\end{align}

横截条件为(横截条件在解微分方程上，用于确定特解。类似于初始条件，但比初始条件更难于解出方程而已。因为这在微分方程中属于终值问题。)，
\[ \lim_{t\rightarrow \infty}[v(t)\cdot a(t)] = 0 \]

横截条件可以进行一个变形以方便后续对消费和资本时间路径的讨论。将\eqref{ramsey_v}式积分\footnote{\begin{align*}
		&\frac{\dot{v}}{v}=-(r-n)\\
		\Longrightarrow & \dot{\ln v}=-(r-n)\\
		\Longrightarrow &\ln v = \int_{0}^t -(r(w)-n)dw + C\hspace{2em}\text{因为利率是时变的}\\
		\Longrightarrow & v = v(0)e^{\int_{0}^t -(r(w)-n)dw}
	\end{align*}}，可以得到$ v(t) $的表达为，
\[ v(t)=v(0)\cdot e^{-\int_{0}^t[r(w)-n]dw} \]
将此式代入横截条件，得到，
\begin{equation}\label{ramsey_cross}
	\lim_{t\rightarrow \infty}[a(t)\cdot e^{-\int_{0}^t[r(w)-n]dw}] = 0
\end{equation}
该横截条件的经济意义在于$ a $的增长率不能超过$ r-n $，否则就不能在$ k\rightarrow\infty $时该式趋于0了(可以看作$ a(t)=a(0)e^{xt} $，$ x $就是$ a $的增长率，这个增长率必须大于$ r-n $)。


上述一阶条件可以得到各时点选择消费的基本条件，
\begin{equation}\label{eq:consume}
r=\rho -\left[\frac{u"(c)\cdot c}{u'(c)}\right]\cdot \frac{\dot{c}}{c}
\end{equation}


可以观察，中括号内是$ u' $对$ c $的弹性\footnote{从弹性的定义可得，$-\frac{d\ln u'}{d\ln c} = -\frac{u"dc}{u'}/\frac{dc}{c}=-\frac{u"c}{u'}$}，我们希望该弹性是常数，因为在稳态时,$ r,\dot{c}/c $都是不变的，但$ c $可以改变，于是弹性也可能发生了变化，于是$ r,\dot{c}/c $就发生了改变，与稳态所要求的$ r,\dot{c}/c $不变不相符。因此，该弹性最好是一个常数。如下不变跨期替代弹性效用函数具备该性质，
\[ u(c)=\frac{c^{(1-\theta)}-1}{1-\theta} \]

其弹性为$ \theta $。在该函数形式下，\eqref{eq:consume}式简化为，
\begin{equation}\label{eq:c}
\dot{c}/c
=\frac{r-\rho}{\theta}
\end{equation}

\section{企业}
企业具备如下生产函数形式，
\[ Y=F(K,\hat L) \]

其中$ \hat L\equiv L\cdot T $，表示有效劳动。这样，人均生产函数可以写成，$ \hat y=f(\hat k) $。企业利润可以表达为，
\begin{align*}
\pi & = F(K,\hat L)-(r+\delta )K-wL\\
& =\hat L[f(\hat k)-(r+\delta)\hat k-we^{-xt}] 
\end{align*}
其中$ x $是技术增长率。那么关于$ \hat{k} $的一阶条件为，
\begin{equation}\label{eq:r1}
f'(\hat k)=r+\delta
\end{equation}

关于$ \hat{L} $的一阶条件为，
\begin{equation}\label{eq:w1}
w=[f(\hat k)-\hat kf'(\hat k)]e^{xt}
\end{equation}

\section{均衡}
均衡条件即为$ a=k $。将此式以及关于利率\eqref{eq:r1}和工资\eqref{eq:w1}的表达式结合起来，同时考虑居民规划中的约束，就有，
\begin{equation}\label{eq:kt}
\dot{\hat k}=f(\hat k)-\hat c-(x+n+\delta )\hat k
\end{equation}

这里利用了$ \hat k=ke^{-xt}$。类似地，通过利用\eqref{eq:c}式以及关于$r$的\eqref{eq:r1}式和$ \hat c=ce^{-xt} $，就有，
\begin{equation}\label{eq:ct}
 \frac{\dot{\hat c}}{\hat c}=\frac{\dot c}{c}-x=\frac{1}{\theta}[f'(\hat k)-\delta -\rho-\theta x] 
\end{equation}

\eqref{eq:ct}式和\eqref{eq:kt}就是我们的关键方程组，该方程组加上初始条件$ k(0) $和横截条件一同确定了$ \hat{c},\hat{k} $的时间路径。此时横截条件\eqref{ramsey_cross}式可以改写为，
\begin{equation}\label{ramsey_cross2}
	\lim_{t\rightarrow \infty}[\hat{k}\cdot e^{-\int_{0}^t[f'(\hat{k})-\delta-x-n]dw}] = 0
\end{equation}
稳态下$ \hat{k} $是个常数，这就必然要求$ f'(\hat{k}^*)-\delta>x+n $。

\section{稳态与转移动态}
稳态是说经济中的变量保持常数增长，可以为0，也可以不为0。但在我们这个模型中，它必然为0。

一旦得到了\eqref{eq:ct}式和\eqref{eq:kt}式，那么令$ \dot{c}=\dot{k}=0 $，他们的交点就是稳态值。

%转移动态就是画稳定臂，或者说估计政策函数。得到政策函数后，可以得到任何想要的变量的演变过程，包括收敛速度。

转移动态就是考察从初始要素比例$ \hat{k}(0) $到稳态比例$ \hat{k}^* $这一转移路径上的增长率及其他变量的行为变化。在这里，我们表明：
\begin{itemize}
	\item 对于某个初始的$ \hat{k}(0) $，高于$ \hat{c}(0) $会最终违背一阶条件，低于$ \hat{c}(0) $会最终违背横截条件，因此只有鞍形稳定一条路径。
	\item 鞍形路径是凸是凹，取决于跨期替代弹性$ \theta $。
\item	产出的动态路径与资本存量是一致的。通过对$ \hat{y}=f(\hat{k}) $取对数再求导，可以发现，
	\[ \frac{\dot{\hat{y}}}{\hat{y}}=\frac{\hat{k}\cdot f'(\hat{k})}{f(\hat{k})}\cdot \frac{\dot{\hat{k}}}{\hat{k}} \]
\end{itemize}

\section{居民异质性}


\chapter{拉姆齐模型的拓展}
\section{政府}
政府的行为在于，一方面对工资、私人收入、消费和企业收入分别按$ \tau_w,\tau_a,\tau_c,\tau_f $进行征税得到收入，一方面进行政府购买$ G $和转移支付$ V $进行支出。亦即，
\begin{equation}\label{eq:g}
G + V= \tau_wwL+\tau_ar(\text{资产})+\tau_cC + \tau_f(\text{企业收入})
\end{equation}
写成人均有效劳动形式为，
\begin{align*}
 \hat g + \hat v &= \tau_ww\frac{L}{\hat{L}}+\tau_ar\hat k+\tau_c\hat c + \tau_f(f(\hat k) - w\frac{L}{\hat{L}} -\delta \hat k)\\
 &= \tau_wwe^{-xt}+\tau_ar\hat k+\tau_c\hat c + \tau_f(f(\hat k) - we^{-xt} -\delta \hat k)
\end{align*}
其中，$ \hat L_t=L(0)e^{xt} $，因为第一期的技术被标准化为1.
\subsection{居户} 此时关于居户的最优规划为，
\begin{align*}
Max\quad U=\int_0^{\infty}\frac{c^{1-\theta}-1}{1-\theta}\cdot e^{nt}\cdot e^{-\rho t}dt\\
s.t. \quad \dot{a}=(1-\tau_w)w + (1-\tau_a)ra-(1+\tau_c)c-na  +v
\end{align*}

其中，$ w,r,a,c,v $分别是工资、资产收益率、人均资产、人均消费和人均转移支付(注意符号与影子价格$ \nu $的区别)。该规划的汉密尔顿函数为，
\[ J = e^{-(\rho-n)t}\cdot \frac{c^{1-\theta}-1}{1-\theta} + \nu\cdot[(1-\tau_w)w + (1-\tau_a)ra-(1+\tau_c)c-na +v] \]
其关于控制变量$ c $和状态变量$ a $的一阶条件为，
\begin{align*}
e^{-(\rho-n)t}c^{-\theta}&=\nu (1+\tau_c)\\
-\dot{\nu}&=\nu [(1-\tau_a)r-n]
\end{align*}

对第一个式子取对数并求导，然后用第二个式子代入，就可以得到关于人均消费增长率，
\begin{equation}\label{eq:c3}
 \frac{\dot{c}}{c}=\frac{1}{\theta}[(1-\tau_a)r-\rho]
\end{equation}


横截条件也发生了变化，
\[ \lim_{t\rightarrow \infty}\left\{a(t)\cdot exp\left[-\int_{0}^t[(1-\tau_a)r(\nu)-n]d\nu \right]\right\}=0 \]

\subsection{企业}企业的应交税的收入为$ F(K,\hat L)-wL-\delta K $，最大化税后利润,
\[ (1-\tau_f)[F(K,\hat L)-wL-\delta K]-rK \qquad\text{or}\qquad \hat L[(1-\tau_f)[f(\hat k)-we^{-xt}-\delta k]-rk]\]
企业通过选择$ k $来最大化上式。因此，类似\eqref{eq:r}式,有一阶条件，
\begin{equation}\label{r}
 f'(\hat k) = \frac{r}{1-\tau_f}+\delta
\end{equation}

同时，企业选择劳动最大化利润（完全竞争条件下，亦即使得工资等于劳动的边际产出），
\begin{equation}\label{wage}
 w = e^{xt}[f(\hat k) -\hat k\cdot f'(\hat k)]
\end{equation}

联立居民的约束条件，政府的约束\eqref{eq:g}以及企业的两个一阶条件，消去$ w $和$ r $，该经济体的约束变成，
\begin{equation}\label{eq:k}
 \dot{\hat k}=f(\hat k)-\hat c-(x+n+\delta)\hat k-\hat g
\end{equation}


联立消费的一阶条件\eqref{eq:c3}式以及工资一阶条件消去$ r $，可以得到有效人均消费的动态，
\begin{equation}\label{eq:c32}
 \frac{\dot{\hat c}}{\hat c} = \frac{1}{\theta}\{(1-\tau_a)(1-\tau_f)[f'(\hat k)-\delta]-\rho-\theta x\}
\end{equation}

此时，通过微分方程组\eqref{eq:k}式和\eqref{eq:c32}式，就可以画相位图，考察税率、政府购买等对均衡的影响。此外，也可以考虑将政府购买纳入居户的效用函数或者企业的生产函数，将有另外的政策意义。
\subsection{税率的影响}
工资税和消费税$ \tau_w,\tau_c $没有出现在任何一阶条件中，因此不影响均衡。

\subsection{附录：如何获得\eqref{eq:k}式}
\begin{align*}
&\because\qquad \frac{\dot{\hat k}}{\hat k}= \frac{\dot{k}}{k} - x \\
&\therefore \qquad \dot{\hat k} = \frac{\dot{k}}{k}\cdot \hat k -x \hat k = e^{-xt}\dot{k} - x\hat k
\end{align*}
因此，居户的约束条件可以写为，
\begin{align*}
\dot{\hat k} = (1-\tau_w)we^{-xt} + (1-\tau_a)r\hat k-(1+\tau_c)\hat c-n\hat k  +\hat v-x\hat k
\end{align*}
考虑到政府的收支平衡，
\[  \hat g + \hat v = \tau_wwe^{-xt}+\tau_ar\hat k+\tau_c\hat c + \tau_f(f(\hat k) - we^{-xt} -\delta \hat k) \]
代入上式，有，
\begin{align*}
 \dot{\hat k} &= we^{-xt} + r\hat k-\hat c -[\hat g + \hat v - \tau_f(f(\hat k) - we^{-xt} -\delta \hat k)]-n\hat k  +\hat v-x\hat k\\
 & = we^{-xt} + r\hat k +\tau_f[f(\hat k) - we^{-xt} -\delta \hat k]-n\hat k  -x\hat k-\hat c-\hat g\\
 & = we^{-xt}+ (1-\tau_f)(f'(\hat k)-\delta)\hat k +\tau_f[f(\hat k) - we^{-xt} -\delta \hat k]-n\hat k  -x\hat k-\hat c-\hat g\qquad\because \text{利率方程}\\
 & = we^{-xt} + [f'(\hat k)-\delta]\hat k-\tau_f[(f'(\hat k)-\delta)\hat k] +\tau_f[f(\hat k) - we^{-xt} -\delta \hat k]-n\hat k  -x\hat k-\hat c-\hat g\\
 & = we^{-xt} + f'(\hat k)\hat k +\tau_f[f(\hat k) - we^{-xt} - f'(\hat k)\hat k]-n\hat k  -x\hat k-\delta\hat k-\hat c-\hat g\\
 & = we^{-xt} + f'(\hat k)\hat k -(n+x+\delta)\hat k-\hat c-\hat g\qquad\because \text{工资方程}\\
 & = f(\hat k)-(n+x+\delta)\hat k-\hat c-\hat g\qquad\because \text{工资方程}
 \end{align*}
\section{开放经济}
假定国内和国外资本所有权是完全可替代的价值储藏手段，这就保证了收益率$ r $是唯一的世界利率。令本国人均资产为$ a_i $，人均资本为$ k_i $。如果国外的债务除以国内人口，即人均债务为$ d_i $,则有如下等式，
\[ a_i=k_i-d_i \]
即国内资产等于国内资本减去国外债务。另外仍然假定劳动力无法流动。现在可以比对前述拉姆齐模型进行分析，居户的预算约束为，
\begin{equation}\label{ac}
 \dot{a}_i=w_i+(r-n_i)a_i-c_i
\end{equation}


\textbf{居户}效用函数与前面的拉姆齐模型一致。那么关于消费的一阶条件没有发生变化，仍然为，
\begin{equation}\label{cons}
  \frac{\dot{\hat c}_i}{\hat c_i}=\frac{1}{\theta}[r -\rho_i-\theta_i x_i]
\end{equation}


注意到贴现率$ \rho_i,\theta_i,x_i $都有了自己国家的脚标。
\textbf{企业}企业的优化条件没有发生变化，依然为，
\begin{align}\label{k}
f'(\hat k_i)&=r+\delta_i\\\label{k1}
w_i&=[f(\hat k_i)-\hat kf'(\hat k_i)]e^{x_it}
\end{align}

\textbf{消费和资产的变化趋势}
注意到，\eqref{cons}式是一个一阶微分方程，其通解可以写为，
\begin{equation}\label{cons2}
 \hat{c}_i(t)=\hat{c}_i(0)e^{\frac{(r-\rho_i-\theta_ix_i)t}{\theta_i}}
\end{equation}


为求出常数$ \hat{c}(0) $，需要利用\eqref{ac}式。注意到该式中$ w,c $均是时间的函数，同样可以直接把他们变成有效人均的形式。这样的微分方程具有如下形式的解，
\begin{equation}\label{a}
 \hat{a}(T)e^{-(r-n-x)T}+\int_{0}^T\hat{c}(t)e^{-(r-n-x)t}dt = \hat{a}(0) + \int_{0}^T\hat{w}(t)e^{-(r-n-x)t}dt
\end{equation}


那么，当$ T\rightarrow\infty $,左边第一项为0(源自横截条件，也很好理解)。整个方程的经济含义在于消费的贴现值等于初始资产值加上工资的贴现值。为确定$ c_i(0) $，可以将\eqref{a}式继续在$ T=\infty $处积分，得到,
\begin{align*}
 \hat{c}_i(0)&=\frac{\hat{a}_i(0)+\int_{0}^\infty\hat{w}_i(t)e^{-(r-n_i-x_i)t}dt}{\int_{0}^\infty e^{\left[\frac{r(1-\theta_i)-\rho_i}{\theta_i}+n_i\right]t}dt}\\
 &=\frac{\rho_i-r(1-\theta_i)-n_i\theta_i}{\theta_i}\left[\hat{a}_i(0)+\frac{\hat{w}_i(0)}{r-x_i-n_i}\right] \hspace{6em}\text{推导见附录}\\
 &=\frac{\rho_i-r(1-\theta_i)-n_i\theta_i}{\theta_i}\left[\hat{a}_i(0)+\frac{\hat{w}_i^*}{r-x_i-n_i}\right] \hspace{6em}\hat{w}_i(t)\text{是一个常量，记为}\hat{w}_i^*
\end{align*}

因为$ r $是常数，所以\eqref{k}式表明$ \hat{k}_i $也是常数（导数也是一个函数形式，该等式，三个变量，两个是常数，第三个自然是常数），\eqref{k1}式表明工资以速率$ x_i $增长，亦即效率工资$ \hat{w}_i=w_ie^{-x_it} $是常数。

于是，\eqref{cons2}式可以写为，
\[ \hat{c}_i= \frac{\rho_i-r(1-\theta_i)-n_i\theta_i}{\theta_i}\left[\hat{a}_i(0)+\frac{\hat{w}_i^*}{r-x_i-n_i}\right]e^{\frac{(r-\rho_i-\theta_ix_i)t}{\theta_i}}\]

而人均资产的变化可以根据\eqref{ac}式写为，
\begin{align}\nonumber
 \dot{\hat{a}}_i&=\hat{w}_i+(r-n_i-x_i)\hat{a}_i-\hat{c}_i\\\nonumber
\Longrightarrow   \dot{\hat{a}}_i+(n_i+x_i-r)\hat{a}_i&=\hat{w}_i^*-\hat{c}_i\\\nonumber
\Longrightarrow  \hat{a}_i(t)&=e^{(r-n_i-x_i)t}\int e^{(n_i+x_i-r)t} (w_i^*-\hat{c}_i)dt\\\nonumber
& = e^{(r-n_i-x_i)t}\left[ w_i^*\int e^{(n_i+x_i-r)t}dt-\int e^{(n_i+x_i-r)t}\hat{c}_idt\right]\\\nonumber
& = \frac{\hat{w}^*}{n_i+x_i-r} - e^{(r-n_i-x_i)t}\int e^{(n_i+x_i-r)t}\hat{c}_i(0)e^{\frac{(r-\rho_i-\theta_ix_i)t}{\theta_i}}dt\\\nonumber
&=\frac{\hat{w}^*}{n_i+x_i-r} - \hat{c}_i(0)\frac{\theta_i}{\theta_i(n_i+x_i-r)+r-\rho-\theta_ix_i}e^{\frac{(r-\rho_i-\theta_ix_i)t}{\theta_i}}\\\label{at}
& = \left[\hat{a}_i(0)+\frac{\hat{w}_i^*}{r-x_i-n_i}\right]e^{\frac{(r-\rho_i-\theta_ix_i)t}{\theta_i}}-\frac{\hat{w}^*}{r-n_i-x_i}\hspace{2em}\text{代入}\hat{c}_i(0)
\end{align}

几个需要注意的条件：首先，要假设国家$ i $的经济规模较小，其对世界利率几乎没有影响。
\begin{enumerate}
	\item 如果是封闭经济，则稳态时人均消费增长为0，稳态利率为$ r=\rho_i+\theta_ix_i $。在开放经济状态下，必须有$ r\le \rho_i+\theta_ix_i $成立。否则，上式表明人均资产将趋于无穷大。
	\item  $ r>n_i+x_i $，否则，工资的现值将趋于无穷大，从而效用也无穷大。
\end{enumerate}
\textbf{该模型的困难}
\begin{itemize}
	\item 第一，在$ r\le \rho_i+\theta_ix_i $条件下，人均消费将趋于0，这是不切实际的。
	\item 第二，在$ r\le \rho_i+\theta_ix_i $条件下，\eqref{at}式第一项最终将趋于0，从而使得人均资产是一个负数。$ d_i=k_i-a_i $表明人均债务将趋于$ \hat{k}^*_i+\hat{w}_i/(r-x_i-n_i) $。意即缺乏耐心的国家将逐渐低呀其所有资本和收入。这是不切实际的。
	\item 第三，从$ \hat{k}_i(0) $到$ \hat{k}_i^* $是瞬时的，收敛速度无限大。这是脱离实际的。注意到封闭经济中$ r(t) $是时变的。
\end{itemize}

\textbf{均衡 }假定世界由一组国家组成，$ i=1,2,\cdots,M $。假设所有国家的$ n_i=n,x_i=x $，则各国产出占世界产出比重不会时变。

按照$ \rho_i+\theta_ix $的大小对国家排序，国家1的值最低。前面已经证明，在$ r\le \rho_i+\theta_ix_i $条件下，人均消费趋于0，人均资产趋于负。但不可能每个国家都这样，必须要有一个国家愿意持有世界的资本存量，唯一的方法就是让最具耐心的国家1的利率$ r_1=\rho_1+\theta_1x $。均衡时，国家1持有所有国家的全部资产和工资收入现值，其消费渐渐以速率$ n+x $增长。

\section{存在信贷约束的开放经济}



\subsection{附录：$\hat{c}_i(0)$的推导}



\chapter{内生增长}
内生增长的一个重大改进在于探讨增长的源泉。在拉姆齐模型中，人均增长率直接为技术增长率$ x $\footnote{因为$ \frac{\dot{\hat c}}{\hat c}=\frac{\dot{c}}{c}-x=0 $。}，而在内生增长模型中，人均增长率取决于模型中其他参数，也就是说，在内生增长模型中，我们将技术内生化了。
\section{AK模型}
\textbf{居户 }居户的一阶条件，资源约束有着与拉姆齐模型一样的形式，
\begin{align*}
\dot{a}&=(r-n)a+w-c\\
 \frac{\dot{c}}{c}&=\frac{1}{\theta}(r-\rho)
\end{align*}

横截条件为，
\[ \lim_{t\rightarrow \infty}\{a(t)e^{-\int_{0}^t[r(v)-n]dv}\}=0 \]
\textbf{企业 }生产函数发生了改变，
\[ y=f(k)=Ak \]

稻田条件$ \lim_{t\rightarrow \infty}f'(k)=0 $不再满足。关于资本的其一阶条件变为，
\[ r = A-\delta \]
关于劳动的一阶条件表明$ w=0 $。
\textbf{均衡}将$ r,w,k=a $代入约束条件有，整理有，
\begin{align*}
\dot{k}=&(A-\delta-n)k-c\\
\frac{\dot{c}}{c}=&\frac{1}{\theta}(A-\delta-\rho)
\end{align*}

可以看到人均消费增长率取决于参数$ \frac{1}{\theta}(A-\delta-\rho) $，而不再仅仅是一个外生的$ x $了。而对资本的动态方程两边除以$ k $，可以有，
\[ \frac{c}{k}=(A-\delta-n)-\frac{\dot{k}}{k} \]

因为稳态时$ \dot{k}/k $是一个常数，所以上式右边是一个常数，因此，人均资本增长率和人均消费增长率是相等的。
\section{物质资本和人力资本的单部门模型}
因为表面上看起来，$ y=Ak $的函数形式令人费解，实际上如果把资本看作物质资本和人力资本的广义资本，那么边际资本收益不变的假定就较为合理了。为了模型化，可以如下设定。


\section{干中学}
AK模型的关键是资本的边际收益不变，如何更精细化地来表达这个思路，而不是简单的设置成$ Ak $呢？来看看干中学模型的搭建。
\textbf{企业}企业采用劳动增强型的新古典生产函数，
\[ Y_i=F(K_i,A_iL_i) \]

意即每种要素的边际收益递减，规模报酬不变，稻田条件满足。但不再外生地认为$ A_i $的增长率为$ x $，而是假设，第一，资本存量增加会导致知识增加。第二，每个企业都能零成本获取该知识。第二个假设表明单个企业的知识变化与总体知识变化一致，再依据第一个假设，其也与总资本变化成正比。于是就可以把企业生产函数中的$ A_i $换成$ K $，
\[ Y_i= F(K_i,KL_i) \]

其经济含义在于：虽然每个企业面临$ K_i $的边际收益递减，但是每个生产者增大$ K_i $会使得$ K $变大，从而又提高了收益。意即从整个社会而言，资本具有不变边际收益。生产函数的这种变化，企业利润可以写成，
\[ L_i[F(k_i,K)-(r+\delta)k_i-w] \]
一阶条件意味着：
\begin{align*}
\frac{\partial Y_i}{\partial k_i}=&0\Leftrightarrow F_1(k_i,K)=r+\delta\\
\frac{\partial Y_i}{\partial L_i}=&0\Leftrightarrow F(k_i,K)-k_iF_1(k_i,K)=w
\end{align*}

另外，注意到，
\begin{align}\nonumber
& F(k_i,K)/k_i=f(K/k_i)=f(L)\\\label{eqak}
  \Rightarrow & F_1(k_i,K)=f(L)-Lf'(L)
\end{align}
\textbf{居户}与前述一致，继续为，
\begin{align}\nonumber
& \frac{\dot{c}}{c}=\frac{1}{\theta}(r-\rho)\\\label{eqgrow}
  \Rightarrow & \frac{\dot{c}}{c}=\frac{1}{\theta}[f(L)-Lf'(L)-\delta-\rho]\qquad \text{根据\eqref{eqak}}
\end{align}
\textbf{均衡}均衡意味着预算约束可以写为，
\begin{equation}\label{eqconst}
 \dot{k}=f(L)k-\delta k-c
\end{equation}


可见，经济体增长率与$ \dot{c}/c $一致，也不再是$ x $了。
\subsection{社会计划者}
社会计划者的资源约束与\eqref{eqconst}式一致，类似地，也试图最大化居户的效用（为方便，假设$ n=0 $），
\[ Max\quad U=\int_0^{\infty}\frac{c^{1-\theta}-1}{1-\theta}\cdot  e^{-\rho t}dt \]

其汉密尔顿函数为，
\[ J= \frac{c^{1-\theta}-1}{1-\theta}\cdot  e^{-\rho t} + \nu (f(L)k-\delta k-c) \]

一阶条件表明，
\[ \frac{\dot{c}}{c}=\frac{1}{\theta}[f(L)-\delta -\rho] \]

可以看到，相比于分散决策的增长\eqref{eqgrow}式，其增长率更高。
\chapter{技术变革：产品种类增加型}\label{sec1}
增长理论主要的修改都是基于生产函数的。特别要在注意利率的决定的方式发生了根本变化。过去的模型是简单地按照边际产品来决定的。现在则有了更为复杂的机制。

\section{生产者}
\subsection{生产函数}
假设生产者$ i $的生产函数为，
\[Y_i=AL_i^{1-\alpha}\sum_{i=1}^N (X_{ij})^{\alpha}  \]

其中$ X_{ij} $是生产者$ i $购买的第$ j $种中间品。注意此时技术进步表现为$ N $的增加而非参数$ A $的增加。同时，可以进一步的简化，假定中间品可用同一实物单位计量，且在生产中其所使用数量相同$ X_{ij}=X_i $,于是上述生产函数可以简化为
\[ Y_i=AL_i^{1-\alpha}NX_i^{\alpha}=(A N^{1-\alpha})\cdot L_i^{1-\alpha}\cdot (NX_i)^{\alpha} \]

该生产函数的特征可以多说一句，其关于$ L $以及中间品总数量$ NX_i $是规模报酬不变的。但要注意到，如果$ NX_i $的增加源自$ X_i $，那么必然遭遇收益递减，如果是源自$ N $的增加，那么收益递减不会出现，这就是内生增长的基础。

现在就可以来构造生产者的利润函数，用$ X_{ij} $表述非耐用商品会简化分析，生产者需要最大化利润，
\[Max\quad  Y_i-wL_i-\sum_{j=1}^N P_jX_{ij} \]

该最优规划的一阶条件是我们最熟悉的边际产出等于要素价格。即关于劳动和中间品要素，有
\begin{align}\label{eqw1}
w & =(1-\alpha)Y_i/L_i\\
X_{ij} & =L_i(A\alpha/P_j)^{1/(1-\alpha)} \label{eq:Xij}
\end{align}

\eqref{eq:Xij}式通过利用生产函数的具体表达，一阶求导得到。
\subsection{研发企业}
研发企业需要考虑是否值得研发。他分两个阶段来决策，第一，假设其已经研发出来，那最卖多少钱是合适的。第二，计算利润现值并与研发费用进行比较。

\textbf{产品定价决策}：在此，假定，一旦产品$ j $发明出来后，其单位生产成本为1，那么该产品在时刻$ v $带来的利润为，
\[\pi_j(v)= [P_j(v)-1]X_j(v) \]

其中,根据\eqref{eq:Xij}式,
\[ X_j=\sum_{i}X_{ij}(v)=[A\alpha/P_j(v)]^{1/(1-\alpha)}\sum_iL_i=L\cdot [A\alpha/P_j(v)]^{1/(1-\alpha)}\]

因此，生产者在各个时点选择$ P_j $以最大化利润，其最优规划为
\[ Max_{P_j}\quad \pi_j(v)= [P_j(v)-1]\cdot L\cdot [A\alpha/P_j(v)]^{1/(1-\alpha)}\]

该最优规划的一阶条件表明，
\[ P_j(v)=\frac{1}{\alpha}>1 \]

将上式带入目标函数就可以得到时刻$ v $的最大利润如下，
\begin{equation}\label{eq:pi}
\pi_j(v)=LA^{1/(1-\alpha)}\cdot \left(\frac{1-\alpha}{\alpha}\right)\cdot \alpha^{2/(1-\alpha)}
\end{equation}


将所有时刻利润贴现到当前时刻$ t $，那么总利润流为
\begin{equation}\label{eq:V}
 V(t)=\pi \int_t^{\infty}e^{-\int_t^v r(w)dw}dv
\end{equation}


\textbf{产品研发决策}：如果该利润大于或者等于研发成本，那么进行该项研发就是值得的。如果令研发成本为常数$ \eta $，那么均衡时必有，
\[ V(t)=\eta \]

考虑到\eqref{eq:V}式对$ V $的表达，上式两边对$ t $求导，利用莱布尼茨公式\footnote{若具有可变上下限的函数为，\[F(x)=\int_{a(x)}^{b(x)}f(x,t)dt\],
那么莱布尼茨法则为， \[ \frac{dF(x)}{dx}=\int_{a(x)}^{b(x)}f_x(x,t)dt+f[(x,b(x)]b'(x)-f[x,a(x)]a'(x) \]

具体的，
\begin{align*}
\dot{V(t)}& = \frac{\pi d\int_t^{\infty}e^{-\int_t^v r(w)dw}dv}{dt}\\
& = \pi\left( \int_t^{\infty}\frac{\partial(e^{-\int_t^v r(w)dw})}{\partial t}dv - e^{-\int_t^t r(w)dw}\right)\\
& = \pi\left( \int_t^{\infty}e^{-\int_t^v r(w)dw}\frac{\partial(-\int_t^v r(w)dw)}{\partial t}dv - 1\right)\\
& = \pi\left( \int_t^{\infty}e^{-\int_t^v r(w)dw}\cdot (-1)\cdot (0-r(t))dv - 1\right)\\
& = \pi\left( \int_t^{\infty}e^{-\int_t^v r(w)dw}r(t)dv - 1\right)\\
& = \pi\left[r(t) \int_t^{\infty}e^{-\int_t^v r(w)dw}dv - 1\right]
\end{align*}}
如下运算，
\begin{align*}
\dot{V(t)} & =\pi \left[\left(\int_t^{\infty}e^{-\int_t^v r(w)dw}dv\right)r(t)-1\right]\\
& = \pi [r(t)\int_t^{\infty}e^{-\int_t^v r(w)dw}dv -1]\\
& =r(t)V(t)-\pi
\end{align*}

从而，有
\begin{equation}\label{eq:V1}
 r(t)=\frac{\pi}{V(t)}+\frac{\dot{V(t)}}{V(t)}
\end{equation}


因为$ \eta $是常数，所以$ \dot{V(t)} $是0，那么根据\eqref{eq:pi}式，上式可以表达成，
\[ r=\frac{L}{\eta}A^{1/(1-\alpha)}\left(\frac{1-\alpha}{\alpha}\right)\alpha^{2/(1-\alpha)} \]

另外，经过一些代数运算，可以发现一些等式，
\begin{itemize}
	\item 中间产品的总量(通过最优价格的替换可以得到)：
	\begin{equation}\label{eqx}
	 X = NX_j= A^{1/(1-\alpha)}\alpha^{2/(1-\alpha)}LN
	\end{equation}
	\item 总产出
	\begin{equation}\label{eqY}
	 Y=AL^{1-\alpha}X^\alpha N^{1-\alpha}= A^{1/(1-\alpha)}\alpha^{2\alpha/(1-\alpha)}LN
	\end{equation}
	\item 要注意到，
	\[ X = \alpha^2Y  \]
\end{itemize}

然后关于利率的表达就又可以写成，
\begin{equation}\label{eqr1}
 r = \frac{1}{\eta}(1-\alpha)\alpha \frac{Y}{N}
\end{equation}


\section{居户和均衡}
居户最大化效用(仍然假设人口增长为0)，
\[ \quad U=\int_0^{\infty}\frac{c^{1-\theta}-1}{1-\theta}\cdot  e^{-\rho t}dt\]
总预算依然是，
\[ \frac{dAsset}{dt}=wL+r\cdot Asset-C \]
其一阶条件为(因为人口增长为0，所以消费增长率等同人均消费增长率)，
\[ \frac{\dot{C}}{C}=\frac{1}{\theta}(r-\rho) \]

此时，均衡条件为居户的资产等于企业的市场价值，
\begin{align}\label{eqasset}
 &Asset = \eta N \\
  \Rightarrow &\frac{dAsset}{dt}=\eta \dot{N}
\end{align}


使用工资的表达式\eqref{eqw1}，总资产的表达式\eqref{eqasset}和利率的表达式\eqref{eqr1}式，有，
\begin{align*}
wL + r\cdot Asset & = Y-\alpha^2Y
\end{align*}

于是居户的预算约束可以写成，
\begin{equation}\label{tech:c}
\eta\dot{N}=Y-C-X
\end{equation}

这就是经济体的\textbf{总约束}，他表明Y必须在消费、中间品和研发之间的分配。

最后，回到消费的增长$ \frac{\dot{C}}{C}=\frac{1}{\theta}(r-\rho) $,将利率替换掉，有，
\[  \frac{\dot{C}}{C}=\frac{1}{\theta}\left[\frac{L}{\eta}A^{1/(1-\alpha)}\left(\frac{1-\alpha}{\alpha}\right)\alpha^{2/(1-\alpha)} -\rho\right]\]

可见消费增长率再次为内生决定，且无转移动态。而$ Y,N $的增长率与$ C $一致。为什么呢？注意到\eqref{tech:c}式可以写成，
\[ C=Y-\eta\dot{N}-X \]

代入\eqref{eqY}式以及\eqref{eqx}式，有，
\begin{equation}\label{tech:cn}
 C = N\left(A^{1/(1-\alpha)}\alpha^{2\alpha/(1-\alpha)}L-A^{1/(1-\alpha)}\alpha^{2/(1-\alpha)}L-\eta\frac{\dot{N}}{N}\right)
\end{equation}


因为稳态下，$ \frac{\dot{N}}{N} $必为常数，所以，如果$ L $不变，根据上式，$ C $与$ N $的增长率相同。再依据\eqref{eqY}式，$ Y $又与$ N $的增长率相同。

\section{增长率的解释}
可以看到发明成本$ \eta $进入了增长率的决定因素中，降低它会提高增长率。$ L $越大也会提高增长率。
\section{递增的研发成本}
如果研发成本是创意数量的增函数，即$ \eta = \eta(N),\eta'(N)>0 $，具体可以设为，
\[ \eta(N)=\phi N^\sigma \]
其中，$ \sigma>0,\phi>0 $均为外生常数。因为此时研发成本随时间而变化，这就使得\eqref{eq:V1}式不能省略掉$ \dot{V}/V $。因此，此时的利率为，
\[ r(t)=\frac{\pi}{\phi N^\sigma}+\sigma\frac{\dot{N}}{N} \]

因此，由消费者最优化得到的一阶条件$ \dot{C}/C=\frac{1}{\theta}(r-\rho) $就要写成，
\begin{equation}\label{tech:cnrise1}
\frac{\dot{C}}{C}=\frac{1}{\theta}\left(\frac{\pi}{\phi N^\sigma}+\sigma\frac{\dot{N}}{N}-\rho\right)
\end{equation}

同时，我们注意到\eqref{tech:cn}式可以通过移项变化(这实际上就是同构居民的预算约束而来)而写成，
\begin{align}\nonumber
 \frac{\dot{N}}{N} &=\frac{1}{\eta}\left[ A^{1/(1-\alpha)}L(\alpha^{2\alpha/(1-\alpha)}-\alpha^{2/(1-\alpha)})-\frac{C}{N}\right]\\\nonumber
 &=\frac{1}{\eta}\left[A^{1/(1-\alpha)}L\alpha^{2\alpha/(1-\alpha)}(1-\alpha^{2})-\frac{C}{N}\right]\\\label{tech:cnrise2}
 & = \frac{\psi_1}{\phi}N^{-\sigma}-\frac{C}{\phi}N^{-(1-\sigma)}
\end{align}

其中，$ \psi_1= A^{1/(1-\alpha)}L\alpha^{2\alpha/(1-\alpha)}(1-\alpha^{2})$，只要$ L $不变，$ \psi_1 $就是个常数。那么，\eqref{tech:cnrise1}式和\eqref{tech:cnrise2}式就构成一组微分方程。从而可以考察其动态路径。

\chapter{质量阶梯}
\section{企业}
\textbf{生产部门}质量阶梯与$ q>1 $成比例，按照$ 1,q,q^2,\cdots,q^{\kappa_j} $的方式增长。每个包含质量信息的产品可以表达为，
\[ \widetilde{X}_{ij}=q^{\kappa_j}X_{ij} \]

其中$ X_{ij} $是它的物理量，脚标的含义是$ i $部门使用的$ j $产品。这样，生产函数就可以写成，
\[ Y_i=AL_i^{1-\alpha}\sum_{j=1}^N(q^{\kappa_j}X_{ij})^\alpha \]

于是，企业的利润化函数为，
\begin{align*}
 &Y_i-wL_i-\sum_{j=1}^NP_jX_{ij}\\
 =& AL_i^{1-\alpha}\sum_{j=1}^N(q^{\kappa_j}X_{ij})^\alpha -wL_i-\sum_{j=1}^NP_jX_{ij}\qquad\text{代入生产函数}
\end{align*}

最大化利润函数对中间产品的一阶导数为0，意味着，
\[ A\alpha L_i^{1-\alpha}q^{\alpha \kappa_j}X_{ij}^{\alpha - 1}=P_j \]

利用上式，对所有企业$ i $加总，可以得到产品$ j $的需求函数：
\begin{equation}\label{quan_x}
 X_j=L\left[\frac{A\alpha q^{\alpha\kappa_j}}{P_j}\right]^{1/(1-\alpha)}
\end{equation}


\textbf{研发部门}
如果研发成本为1，则研发部门的利润流为，
\begin{equation}\label{quan_pi}
 \pi(\kappa_j) = (P_j-1)X_j
\end{equation}


研发部门选择价格以最大化利润流，其一阶条件表明，
\[ P_j = \frac{1}{\alpha} \]

将上式代入\eqref{quan_x}式，产品$ j $的需求函数可以写为，
\begin{equation}\label{quan_x2}
 X_j=LA^{1/(1-\alpha)}\alpha^{2/(1-\alpha)} q^{\alpha\kappa_j(1-\alpha)}
\end{equation}


上式代入\eqref{quan_pi}式，有总的利润流为，
\[ \pi(\kappa_j)=\bar\pi q^{\kappa_j\alpha/(1-\alpha)} \]

其中，
\[ \bar\pi = LA^{1/(1-\alpha)}\alpha^{2/(1-\alpha)}\frac{1-\alpha}{\alpha} \]

\textbf{那么本章与上章最大的区别就在于，利润流的保持不是永久的，而是一个时期}，即
\[ T(\kappa_j)=t_{\kappa_j+1}-t_{\kappa_j} \]

那么，在时点$ t_{\kappa_j} $，处于梯级$ \kappa_j $的发明者所获全部利润流为，
\begin{equation}\label{quan_v}
 V(\kappa_j)=\int_{t_{\kappa_j}}^{t_{\kappa_j+1}}\pi(\kappa_j)e^{-\bar r(v,t_{\kappa_j})(v-t_{\kappa_j})}dv
\end{equation}

类似的，
\[  \bar r \equiv \frac{\int_{t_{\kappa_j}}^vr(w)dw}{v-t_{\kappa_j}} \]
是时点$ t_{\kappa_j} $与$ v $之间的平均利率。如果利率保持不变，那么\eqref{quan_v}式可以重新书写为\footnote{因为，如果$ r $是常数，则现值因子为，$ e^{r(v-t_{\kappa_j})} $，于是，\begin{align*}
	\int_{t_{\kappa_j}}^{t_{\kappa_j+1}}\pi(\kappa_j)e^{-r(v-t_{\kappa_j})}dv & = 	\pi(\kappa_j)\int_{t_{\kappa_j}}^{t_{\kappa_j+1}}e^{-r(v-t_{\kappa_j})}dv\\
	& = \pi(\kappa_j) \left.\frac{e^{-r(v-t_{\kappa_j})}}{-r}\right|^{v=t_{\kappa_j+1}}_{v= t_{\kappa_j}}\\
	& = \pi(\kappa_j)\frac{1-e^{-rT(\kappa_j)}}{r}
	\end{align*}}，
\[ V(\kappa_j) = \pi(\kappa_j)\frac{1-e^{-rT(\kappa_j)}}{r} \]

现在问题就转变为时间$ T(\kappa_j) $如何决定？可以定义当质量为$ \kappa_j $时，部门$ j $成功创新的概率为$ p(\kappa_j) $。因此$ V(\kappa_j) $的期望为（推导见书的附录），
\begin{equation}\label{quan_v1}
 E[V(\kappa_j)]=\frac{\pi(\kappa_j)}{r+p(\kappa_j)}=\frac{\bar\pi q^{\kappa_j\alpha(1-\alpha)}}{r+p(\kappa_j)}
\end{equation}


概率$ p(\kappa_j) $的引入，必须要解决它。$ p(\kappa_j) $不仅取决于研发投入$ Z(\kappa_j) $也取决于自身所在的质量梯级(由$ \phi(\kappa_j) $刻画)，
\begin{equation}\label{quan_z}
 p(\kappa_j)=Z(\kappa_j)\phi(\kappa_j)
\end{equation}


其中，$ \phi(\kappa_j) $最简单的形式，可以令研发概率与下一梯级的产出负相关，即，
\begin{equation}\label{quan_phi}
 \phi(\kappa_j)=\frac{1}{\zeta}q^{-(\kappa_j+1)\alpha/(1-\alpha)}
\end{equation}


这是因为当我们利用\eqref{quan_x2}式和产出函数，然后加总$ i $，可以得到总产出和总中间品\footnote{注意中间品中$\alpha $的指数相对总产出少了个$\alpha$。}的表达式为，
\begin{align*}
 Y& = A^{1/(1-\alpha)}\alpha^{2\alpha/(1-\alpha)}L\sum_{j=1}^Nq^{\kappa_j\alpha/(1-\alpha)}\\
X &= A^{1/(1-\alpha)}\alpha^{2/(1-\alpha)}L\sum_{j=1}^Nq^{\kappa_j\alpha/(1-\alpha)}
\end{align*}


为了研发努力可以持续，必须使得研发下一个梯级的未来期望收益不小于其成本。即，
\[ p(\kappa_j)E[V(\kappa_j)]-Z(\kappa_j)=Z(\kappa_j)\{\phi(\kappa_j)E[V(\kappa_j+1)]-1\}=0 \]

因此，有，
\begin{align}\nonumber
&\phi(\kappa_j)E[V(\kappa_j+1)]-1=0\\\nonumber
\Rightarrow & r + p(\kappa_j+1)=\phi(\kappa_j)\bar\pi q^{(\kappa_j+1)\alpha/(1-\alpha)}\qquad \text{因为\eqref{quan_v1}式}\\\nonumber
\Rightarrow & r + p(\kappa_j+ 1)=\frac{\bar\pi}{\zeta}\qquad\text{因为\eqref{quan_phi}式}\\\label{quan_r}
\Rightarrow & r + p=\frac{\bar\pi}{\zeta}\qquad\text{因为上式意味着$ p $与梯级无关}
\end{align}

可以看到利率终于被上式导出一个简单形式，但问题在于$ p $不是常数，所以上式没有最终解决$ p $。这个问题待会解决。此外，可以得到研发总支出$ Z $的表达，
\begin{align*}
Z(\kappa_j)&= q^{(\kappa_j+1)\alpha/(1-\alpha)}(\bar\pi-r\zeta)\qquad \text{因为\eqref{quan_z}式，\eqref{quan_phi}式和\eqref{quan_r}式}\\
\Rightarrow Z\equiv \sum_{j=1}^NZ(\kappa_j)&= q^{\alpha/(1-\alpha)}Q\cdot (\bar\pi - r\zeta)
\end{align*}
\section{居户}
居户的一阶条件不变，
\begin{align*}
 \frac{\dot{C}}{C}&=\frac{r-\rho}{\theta}\\
 &= \frac{1}{\theta}\left(\frac{\bar\pi}{\zeta}-p-\rho\right)\qquad\text{因为\eqref{quan_r}式}
\end{align*}

注意上式仍然有一个内生的$ p $。经济体总约束为，
\[ Y = C+ X + Z \]

这个约束就意味着，
\[ \frac{\dot{C}}{C} = \frac{\dot{X}}{X} = \frac{\dot{Z}}{Z} = \frac{\dot{Y}}{Y}\]

同时，因为它们都是$ Q $的线性函数，所以它们的增长率都等于$ \dot{Q}/Q $。
\section{$Q $的增长}
要解决$ p $的问题，必须来考察质量指数$ Q $，即$ Y,X $中都包含的那个东西，
\[ Q = \sum_{j=1}^Nq^{\kappa_j\alpha/(1-\alpha)} \]

因此，单位时间内$ Q $的期望变化为，
\begin{align*}
E(\Delta Q)& = \sum_{j=1}^Np(q^{(\kappa_j+1)\alpha/(1-\alpha)} - q^{\kappa_j\alpha/(1-\alpha)})\\
& = p(q^{\alpha/(1-\alpha)}-1)\sum_{j=1}^Nq^{\kappa_j\alpha/(1-\alpha)}\\
& = p\cdot (q^{\alpha/(1-\alpha)}-1)\cdot Q\\
\Rightarrow E\left(\frac{\Delta Q}{Q}\right)&=p(q^{\alpha/(1-\alpha)}-1)\\
\Rightarrow \frac{\dot{Q}}{Q}&=p(q^{\alpha/(1-\alpha)}-1)\qquad\text{如果$ N $足够大}
\end{align*}

联立消费的一阶条件和上式，就可以解出$ r $和$ p $。就可以得到增长率$ \gamma $。
\chapter{技术扩散}
本章以第\ref{sec1}章的内容为基础。总体思路是两个国家，一个是领先国家，遵循的模型与第\ref{sec1}章一模一样，另一个是追随国家，大体上与第\ref{sec1}章的模型也一致，区别在于企业的成本发生了细微的改变。接下来，我将国家1的模型归纳如下（实际上是对第\ref{sec1}章模型的一个小结），
\section{领先国家}
\textbf{企业}生产函数如下，
\[ Y_1=A_1L_1^{1-\alpha}\cdot\sum_{j=1}^{N_1}(X_{1j})^\alpha \]
依据利润最大化，各产品均可以价格$ P=\frac{1}{\alpha} $卖出，因此，中间产品$ j $的数量为，
\[ X_{1j}=A_1^{1/(1-\alpha)}\alpha^{2/(1-\alpha)}L_1 \]
上式代入生产函数，可计算得到人均产出为，
\[ y_1=\frac{Y_1}{L_1}=A_1^{1/(1-\alpha)}\alpha^{2\alpha/(1-\alpha)}N_1 \]
利润为，
\[ \pi_{1j}= L_1A_1^{1/(1-\alpha)}\cdot \left(\frac{1-\alpha}{\alpha}\right)\cdot \alpha^{2/(1-\alpha)}\]
将所有利润贴现到现在，得到企业的价值为$ V_1 $。然后，资本收益率可以写为，
\[ r_1=\frac{\pi_{1j}+\dot{V}_1}{V_1} \]

进一步令发明成本为$ \eta_1 $，由于成本要等于企业价值$ \eta_1=V_1 $，且为常数，则利率又可以写成，
\[ r_1=\frac{\pi_1}{\eta_1}= (L_1/\eta_1)A_1^{1/(1-\alpha)}\cdot \left(\frac{1-\alpha}{\alpha}\right)\cdot \alpha^{2/(1-\alpha)}\]
\textbf{居户}居户的最优化条件表明，
\[ \gamma_1=\frac{\dot{C}_1}{C_1}=\frac{1}{\theta}(r_1-\rho)= \frac{1}{\theta}\left[(L_1/\eta_1)A_1^{1/(1-\alpha)}\cdot \left(\frac{1-\alpha}{\alpha}\right)\cdot \alpha^{2/(1-\alpha)}-\rho\right]\]
领先国家在稳态中，$ N_1,Y_1,C_1 $均以不变速率$ \gamma_1 $增长。
\section{追随国家}
\textbf{企业}与领先国家类似，中间品数量为，
\[  X_{2j}=A_2^{1/(1-\alpha)}\alpha^{2/(1-\alpha)}L_2 \]
人均产出为，
\[ y_2=\frac{Y_2}{L_2}=A_2^{1/(1-\alpha)}\alpha^{2\alpha/(1-\alpha)}N_2 \]
利润为，
\[ \pi_{2j}= L_2A_2^{1/(1-\alpha)}\cdot \left(\frac{1-\alpha}{\alpha}\right)\cdot \alpha^{2/(1-\alpha)}\]
利率为，
\[ r_2=\frac{\pi_{2j}+\dot{V}_2}{V_2} \]

但此时，$ V_2 $的模仿成本不再是常数$ \eta_2 $，而是一个函数$ v_2(N_2/N_1) $，该函数是$ N_2/N_1 $的增函数，即追随国家的产品越来越多时，成本将会变大。于是，利率可重新写成，
\[ r_2=\frac{\pi_{2j}+\dot{v}_2}{v_2} \]
\textbf{居户}一阶条件为，
\[ \frac{\dot{C}_2}{C_2}=\frac{1}{\theta}(r_2-\rho) \]
\textbf{稳态增长}在稳态中，$ N_2 $的增长率应与$ N_1 $一致，为$ \gamma_1 $。于是$ C_2 $和$ y_2 $也为$ \gamma_1 $。但是，我们要注意到一点，稳态时，追随国的人均产出和人均消费都要小于领先国。

\textbf{动态路径和收敛}
领先国家不存在转移动态，因为在任何时候，$ \frac{\dot{C}_1}{C_1} $都是一个常数。但是追随国家却不是这样，因为$ \frac{\dot{C}_2}{C_2}=\frac{1}{\theta}(r_2-\rho) $中的$ r_2 $包含了$ \dot{v}_2 $，而它取决于比率$ M_2/N_1 $，如果转移过程中，两个比率不一致，那么追随国家就会出现转移动态。

\section{外国投资和知识产权}
现在假设领先国家的中间品需要常量成本$ v_2 $才能改造成在追随国家使用的中间品，仍然保证假设$ v_2<v_2^* $。

这样，从利润的角度看，领先国家的利润来自两个国家，
\[ \tilde{\pi}=\pi_{1j}+\pi_{2j}= \left(\frac{1-\alpha}{\alpha}\right)\cdot \alpha^{2/(1-\alpha)}[L_1A_1^{1/(1-\alpha)}+L_2A_2^{1/(1-\alpha)}]\]
总成本为$ \eta_1+v_2 $，那么领先国家的利率为，
\[ \tilde{r}=\frac{\tilde{\pi}}{\eta_1+v_2}= \frac{\left(\frac{1-\alpha}{\alpha}\right)\cdot \alpha^{2/(1-\alpha)}[L_1A_1^{1/(1-\alpha)}+L_2A_2^{1/(1-\alpha)}]}{\eta_1+v_2}\]

因为该利率高于先前的利率$ r_1 $，因此，其稳态增长率是高于无外国投资时的稳态增长率的。



\chapter{附录：汉密尔顿函数(Novales et al. 2014)}
本节内容来自Novales et al. (2014)的附录，比巴罗的讲解更为清晰些。
\section{一般的连续时间控制问题}
一个动态优化问题可以写为，
\begin{align*}
\max &\int_{0}^{T} f(x_t,v_t,t)dt\\
\dot{x}_t &= h(x_t,v_t,t)\\
\text{given}&\;\; x_0
\end{align*}

其中$ v_t $是控制变量，$ x_t $是状态变量。该问题的汉密尔顿函数可以写为，
\[ H(x_t,v_t,\mu_t,t) = f(x_t,v_t,t)+\mu_th(x_t,v_t,t) \]
那么上述最大化问题的一阶条件为，
\begin{align*}
\frac{\partial H}{\partial v_t}&=0 \\
\dot{\mu}_t& = -\frac{\partial H}{\partial x_t}
\end{align*}

横截条件为，
\[ x_T\ge 0, x_T\mu_T=0 \]
\section{折现问题}
如果现在最大化问题为，
\begin{align*}
\max &\int_{0}^{T} e^{-\theta t}g(x_t,v_t,t)dt\\
\dot{x}_t &= h(x_t,v_t,t)\\
\text{given}&\;\; x_0
\end{align*}

使用上一小节的步骤也是可以的，但不方便。可以重写汉密尔顿函数为，
\[ H(x_t,v_t,\mu_t,t) = e^{-\theta t}[g(x_t,v_t,t)+\mu_te^{\theta t}h(x_t,v_t,t)] \]
然后定义现值乘子，
\[ \lambda_t = \mu_te^{\theta t} \]

然后定义现值汉密尔顿函数$ H^* $,
\[H^* =e^{\theta t} H = g(x_t,v_t,t)+\mu_te^{\theta t}h(x_t,v_t,t)= g(x_t,v_t,t)+\lambda_t h(x_t,v_t,t)] \]
可见现值汉密尔顿函数和汉密尔顿函数的最大化一阶条件是一致的。



